Gibt es endgültige Antworten für unentscheidbare Fragen?

Ihrem Wesen nach ist die Mathematik eine strenge Wissenschaft, die prinzipiell endg¨¹ltige und allgemeing¨¹ltige Wahrheiten sucht und erzeugt. Gleichwohl kennt die Mathematik an ihren ?ussersten R?ndern noch einige R?tsel, die sie nicht eindeutig und widerspruchsfrei l?sen kann. Der Weg, den Mathematikerinnen und Mathematiker zur L?sung einschlagen, ist dabei wesentlich gezeichnet von ihrer Vorstellungskraft und ihrer philosophischen Haltung.

Mit den Paul Bernays Lectures bietet die ETH Z¨¹rich jedes Jahr eine B¨¹hne, auf der philosophische Aspekte der exakten Wissenschaften zur Sprache kommen. In diesem Jahr tr?gt der Logiker und Mengentheoretiker Hugh Woodin von der Harvard Universit?t seine Einsichten ¨¹ber unl?sbare Probleme und die Natur des Unendlichen vor.

Als Forscher befasst sich Hugh Woodin mit den Grundlagen der Mathematik und mit der Frage, wie sich die Mathematik als Ganzes logisch aufbauen und begr¨¹nden l?sst. Da sich alle mathematischen Probleme in der Form von Mengen erfassen und darstellen lassen, gilt die Mengenlehre heute als das logische Fundament der Mathematik.

Verschieden grosse Unendlichkeiten

Wie alle mathematischen Theorien baut die Mengentheorie auf Axiomen auf. Das sind m?glichst einfache und als wahr akzeptierte Grunds?tze, aus denen sich alle weiteren wahren S?tze widerspruchfrei ableiten lassen, und die zusammen ein m?glichst vollst?ndiges und widerspruchsfreies Ganzes (System) bilden sollen.

F¨¹r die nat¨¹rlichen Zahlen (0,1,2,3,4,5,6, usw.) hat sich ein Standardsystem mit dem Namen ZFC durchgesetzt, das auf Ernst Zermelo (1871¨C1953) und Abraham Fraenkel (1891¨C1965) zur¨¹ckgeht und heute neun Axiome umfasst. Das Axiomensystem ZFC ist die Grundlage der Mengenlehre und damit f¨¹r die Mathematik insgesamt.

Im Mittelpunkt von Hugh Woodins Schaffen steht die Auseinandersetzung mit einem der gr?ssten R?tsel der Mengenlehre: n?mlich mit der so genannten Kontinuumshypothese. Diese Vermutung stellte Georg Cantor (1845¨C1918), der Begr¨¹nder der Mengenlehre, als erster im Zusammenhang mit dem Begriff der Unendlichkeit auf.

Er hatte 1878 entdeckt, dass auch Mengen mit unendlich vielen Elementen verschieden gross sein k?nnen. Er bewies zum Beispiel, dass die Menge der reellen Zahlen (z.B. 7, ?51, 10⁶, 5/9, 2.4137, ¡Ì3, ¦Ð, etc.), die Richard Dedekind 1858 an der ETH Z¨¹rich in die Mathematik eingef¨¹hrt hatte, ?noch viel unendlicher? ist als die Menge der nat¨¹rlichen Zahlen. Zugleich vermutete er, dass es zwischen diesen beiden Unendlichkeiten keine weitere Unendlichkeit geben k?nne. Beweisen konnten er seine Vermutung jedoch nicht, und im 20. Jahrhundert versch?rfte sich die Situation sogar noch.

Unl?sbar ¨C weder bewiesen noch widerlegt

Zun?chst bewies Kurt G?del (1906¨C1978), dass die Kontinuumshypothese mit dem Axiomensystem ZFC konsistent, das heisst widerspruchsfrei, ist. Dann gelang Paul Cohen (1934-2007) der Beweis, dass auch die Negation der Kontinuumshypothese mit ZFC konsistent ist. Das heisst nichts anderes als dass man die Kontinuumshypothese mit den Axiomen der Mengenlehre weder beweisen noch widerlegen kann. Deshalb ist die Kontinuumshypothese unentscheidbar in ZFC und damit ein unl?sbares Problem.

Sowohl G?del als auch Cohen haben Techniken entwickelt, die zur L?sung des Problems f¨¹hren k?nnten, und Hugh Woodin ist einer derjenigen, die ihr Erbe angetreten haben. Er hat mit beiden Techniken Zwischenerfolge auf dem Weg zu einer endg¨¹ltigen L?sung erreicht. 

Zun?chst arbeitete Hugh Woodin mit Cohens Forcing-Technik, mit der man Modelle der Mengenlehre um bestimmte Grundaussagen erweitern und Mengen mit bestimmten Eigenschaften erzeugen oder ausschliessen kann. Damit versuchte er die ZFC-Axiome zu erweitern und die Kontinuumshypothese zu widerlegen. Mittlerweile arbeitet Woodin aber mit einem Modell, das n?her bei G?dels so genanntem ?konstruktiblen Modell L? ist, in dem die Kontinuumshypothese gilt. Ein Modell f¨¹r ZFC ist dabei eine Struktur, die alle Axiome von ZFC erf¨¹llt.

Ein richtiges Modell oder viele sch?ne?

Bei der Frage, wie man die ZFC-Axiome erweitern soll, gehen die Ansichten der Mengentheoretiker weit auseinander. Einige folgen Woodin und hoffen mit zus?tzlichen Axiomen schliesslich das ?richtige? Modell der Mengenlehre zu finden. Andere versuchen, mit der Forcing-Methode Axiome zu ZFC hinzuzuf¨¹gen oder wegzulassen, um so verschiedene mengentheoretische Modelle zu konstruieren.

Mit der Forcing-Methode arbeitet der Logiker und Mengentheoretiker Lorenz Halbeisen. Der Privatdozent der ETH Z¨¹rich wird an der Bernays Vorlesung am 14. September 2016 in das Werk von Hugh Woodin einf¨¹hren. ?Mich fasziniert, wie reichhaltig das Axiomensystem ZFC ist, und welche Modelle der Mengenlehre sich dadurch bilden lassen.?

Anders als Hugh Woodin sucht Lorenz Halbeisen nicht nach dem einen idealen und richtigen Modell der Mengenlehre, ihn reizt mehr, ?wie sich die Mathematik ver?ndert, wenn man ein Axiom dazu oder wegnimmt, und dass man auf diese Weise verschiedene Mengenlehren oder verschiedene Arten der Mathematik erhalten kann.?

Halbeisen r?umt aber ein, dass es f¨¹r Forschende, die wie Woodin die Mengenlehre als das Fundament der Mathematik begreifen, wenig Sinn ergibt, verschiedenen Modelle der Mathematik zu haben, ?weil das heisst ja auch, dass die gesamte Mathematik bis zu einem gewissen Grad beliebig ist?, sagt Halbeisen, ?wer wie ich jedoch die Mengenlehre als Teilgebiet der Mathematik versteht, f¨¹r den ist genau das spannend, dass man verschiedene Modelle vergleichen und die Grenzen eines axiomatischen Systems untersuchen kann.?