Mathematik ist überall. Zu Besuch in der Welt von Alessio Figalli

Mathematik ist ¨¹berall. Man muss sie nur sehen, sagt Alessio Figalli und blickt zum Himmel. Wolken ziehen ¨¹ber die Stadt Z¨¹rich. Einige gross, andere klein. Keine beh?lt ihre Gestalt f¨¹r lange. Solche Ver?nderungen der Form interessieren Alessio Figalli. Sie bieten ihm die Anschauung, um die Mathematik dahinter zu verstehen. Die Mathematik, f¨¹r die Figalli die Fields-Medaille erhalten hat: die h?chste Auszeichnung f¨¹r einen Mathematiker unter 40 Jahren.

Mathematik ist ¨¹berall. Sie zu erkennen, erfordert Kreativit?t, sagt Figalli auf dem Weg zum ETH-Hauptgeb?ude, wo er sein B¨¹ro hat. Figalli ist zu Fuss unterwegs. Das ist eine gute Art, um neue Ideen f¨¹r eine mathematische Fragestellung auszudenken. Zumal dann, wenn es sich um ein Problem handelt, ¨¹ber das sich die Mathematiker seit Jahren ¨C oder noch l?nger ¨C den Kopf zerbrechen. ?Um der erste zu sein, der eine offene Frage l?sen kann, muss man eigene Ideen entwickeln. Dann versucht man die Ergebnisse aus verschiedenen Bereichen miteinander zu verkn¨¹pfen und neue Techniken zur L?sung des Problems zu entwerfen. Das ist ein kreativer Denkvorgang?, sagt Figalli.

Das Geheimnis der Wolken

Mit Blick auf die Wolken ist das gegl¨¹ckt: Zusammen mit anderen Mathematikern konnte Figalli beweisen, dass sich gewisse Ver?nderungen der Form von Wolken mathematisch wie ein ?optimaler Transport? berechnen lassen. Es sind daher dieselben ¨C oder verwandte ¨C Gleichungen auf Wolken anwendbar wie man sie zur Berechnung eines m?glichst g¨¹nstigen Transportwegs von Ressourcen oder Personen verwendet.

Die L?sungsidee war: Wenn eine Wolke abrupt ihre Gestalt ?ndert, bewegen sich unz?hlige Wolkenteilchen aus ihrer Position in eine andere. Man kann sich diese Bewegung auch so vorstellen als w¨¹rden die Partikel von einem Ort zu einem anderen transportiert. Das trifft namentlich auf die Wolkenformationen einer Grosswetterfront zu. Diese ver?ndern sich oft so sprunghaft und pl?tzlich, dass es sehr anspruchsvoll ist, sie mathematisch zu beschreiben.

Als Figalli 2005 an dieses ?semigeostrophische Problem? herantrat, war der Zusammenhang zwischen Transportoptimierung und Meteorologie seit den 1990er-Jahren bekannt. Im Detail fehlten aber wichtige Resultate. So machte er sich daran, die sehr komplexen Differentialgleichungen und ihre Eigenschaften und Abh?ngigkeiten zu untersuchen.

Differentialgleichungen beschreiben Bewegungen und Ver?nderungen. Sie sind eines der wichtigsten Werkzeuge der Natur- und Ingenieurwissenschaften und eine Voraussetzung f¨¹r viele technische Errungenschaften der modernen Gesellschaft. Eine bekannte Differenzialgleichung ist die Monge-Amp¨¨re-Gleichung.

Im Kern beschreibt sie, welcher Weg am effizientesten ist, um Objekte und Ressourcen zu transportieren. Gaspard Monge (1746-1818) war ein franz?sischer Mathematiker und Minister unter Napoleon. Er wollte wissen, wie sich das ben?tigte Baumaterial m?glichst kosteng¨¹nstig zu den Baustellen f¨¹r Befestigungsanlagen transportieren liess. Oder umgekehrt gefragt: Zu welchem Standort bringt man das Baumaterial am besten, wenn man die Transportkosten minimieren will?

Die Kosten der Ver?nderung

Auf die Wolken ¨¹bertragen heisst das: Wenn man weiss, dass die Partikel auf dem Weg von der Anfangsverteilung zur Endverteilung die ?Transportkosten? minimieren, kann man ihren optimalen Weg berechnen. Auf diese Weise erh?lt man Information, wie die Wolken ihre Form ver?ndern. Sieben Jahre lang untersuchten Figalli und seine Weggef?hrten die Monge-Amp¨¨re-Gleichung.

2012 kam der Durchbruch: sie konnten f¨¹r diese Gleichung grundlegende Resultate ¨¹ber die Eigenschaften von L?sungen beweisen. Ausserdem zeigten sie, dass sich die Gleichung eignet, um die Ver?nderung von Wolkenformationen zu beschreiben.

?Bei der Anwendung der Theorie des optimalen Transports auf physikalische und chemische Beispiele, spielt es eine wichtige Rolle, dass sich der Begriff der minimalen ?Kosten? in vielen F?llen auf die Energie bezieht?, erkl?rt Figalli, ?denn die Natur minimiert Energie.?

Neben den Wolken hat Figalli auch Formver?nderungen von Seifenblasen und Kristallen untersucht. Sowohl Seifenblasen als auch Kristalle streben nach einer Form, die ihre Oberfl?chenenergie m?glichst geringh?lt. Physikalisch handelt es sich zwar um verschiedene Arten von Energie, mathematisch jedoch sind die Gleichungen sehr ?hnlich. Man kann die Theorie des optimalen Transports auf beide anwenden, um zu beschreiben, wie sich ihre Form ver?ndert, wenn man Energie zuf¨¹hrt. Danach l?sst sich untersuchten, wie die Partikel von der Konfiguration mit minimaler Energie zu derjenigen mit erh?hter Energie transportiert werden.

Origineller Denker und Probleml?ser

Es gibt Mathematiker, die entwickeln eine neue Technik, mit der sie sozusagen die T¨¹r aufstossen zu einem v?llig neuen Forschungsgebiet: Das war so, als Isaac Newton (1642-1726) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) die Differentialrechnung einf¨¹hrten. Alessio Figalli ist ein anderer Typ Mathematiker. Er entwirft keine neuen Theorien und Modelle, sondern konzentriert sich darauf, L?sungen f¨¹r bestehende Probleme zu entwickeln. Nicht irgendwelche, sondern mit Vorzug solche, an denen Mathematiker schon lange herumstudieren.

Wer in diesem Wettbewerb als erster ein Problem l?sen und durch einen strengen Beweis begr¨¹nden will, braucht neben profundem Wissen viel Kreativit?t und Originalit?t. Dazu geh?rt, dass man entt?uschte Erwartungen wegsteckt: ?Von der Idee bis zum strengen Beweis ist es ein weiter Weg. Oft bin ich gescheitert, immer habe ich dazu gelernt?, sagt Figalli. Er hatte das Gl¨¹ck, dass seine Lehrer zu den originellsten und ideenreichsten Mathematikern geh?ren: Luigi Ambrosio in Pisa, C¨¦dric Villani in Lyon, Fields-Medaillentr?ger von 2010, und Luis Angel Caffarelli in Austin.

In Austin, wo Figalli sieben Jahre Professor war, bevor er an die ETH kam, nannten sie ihn ein ?Ass unter den Probleml?sern?. Figalli ist ein sportlicher Mann: Er bevorzugt Basketball und Fussball. Er ist verheiratet und bezeichnet sich selbst als einen zuverl?ssigen und effizienten Forscher. Mathematik, sagt er, entsteht im Dialog. An Z¨¹rich sch?tzt er die hervorragenden Studierenden, das lebendige und dynamische Umfeld an der ETH Z¨¹rich, und dass es an der Universit?t Z¨¹rich ebenfalls ein starkes Institut f¨¹r Mathematik gibt.

Blitzkarriere nach sp?ter Eingebung

Seine Karriere verlief schnell: Nach dem Studium an der Scuola Normale Superiore in Pisa, einer Talentschmiede, die nur wenige, besonders originelle Studierende aufnimmt, schloss er sein Doktorat in nur einem Jahr ab. Als er abschloss, wurde er sogleich Assistenzprofessor in Nizza. Mit 25 wurde er zum ausserordentlichen Professor an der Universit?t von Texas in Austin ernannt, mit 27 zum ordentlichen Professor bef?rdert und mit 32 an die ETH Z¨¹rich berufen.

Figalli f¨¹hlte sich nicht fr¨¹h zur Mathematik berufen: Seine Leidenschaft f¨¹r die Mathematik wurde erst geweckt, als ihn ein Lehrer im Gymnasium ¨¹berzeugte, an der Mathematik-Olympiade teilzunehmen. Sein Vater war Ingenieur-Professor, und als Kind dachte er, Mathematik sei ein Werkzeug f¨¹r Ingenieure. Dass sie ein eigenes Berufsfeld sein k?nnte, war ihm nicht bewusst. Heute ist es sein Anliegen, ?dass die Jungen wissen, dass Mathematik ein kreativer Beruf ist.?

Mathematik ist ¨¹berall.