…denn sie suchen nach Schönheit
Ist Mathematik im Herzen eine ?sthetische Disziplin – oder was heisst es, wenn jemand einen Beweis ?sch?n? findet? Und was sagt mathematische Sch?nheit über physikalische Zusammenh?nge aus?
Bis heute kennt die Mathematik sch?ne Sachverhalte, die auch im Alltag bekannt sind – zum Beispiel den Goldenen Schnitt, der seit der Antike den Ruf hat, die ideale Proportion abzubilden. Es gibt Mathematiker:innen, die sagen, ohne ?sthetischen Sinn k?nne man kaum zu mathematischen Entdeckungen gelangen. ?Sch?nheit berührt sicherlich die Seele der Mathematiker:innen?, sagt Ana Cannas da Silva, ETH-Professorin für Mathematik, die im Gebiet der Geometrie forscht. Für sie gehen mathematische und ?sthetische Neugier Hand in Hand: In Portugal zum Beispiel werden Gehsteige oft in komplexen symmetrischen Mustern gepflastert, die mathematische Ph?nomene veranschaulichen. Darüber hat sie den Bildband ?Symmetry step by step? verfasst.
Auf die Frage, was Sch?nheit in der Mathematik bedeute, sagt Ana Cannas da Silva, es gehe nicht nur um Visuelles, es gehe auch um Sprache. Sie teilt die Auffassung des Wegbereiters der modernen Physik, Galileo Galilei (1564 – 1642), das Universum sei in der Sprache der Mathematik geschrieben.
Eine intensive Erfahrung
Eine verbindliche Regel, was mathematische Sch?nheit ausmacht, gibt es nicht: ?Für mich ist die Abstraktheit der Mathematik die Quelle ihrer Sch?nheit?, sagt Emmanuel Kowalski, der über analytische Zahlentheorie forscht, ein Gebiet der reinen Mathematik. Er r?umt ein: ?Mathematiker:innen empfinden nicht alle dieselben Dinge auf dieselbe Weise als sch?n, aber die allermeisten machen diese intensive Erfahrung, dass Mathematik sch?n ist.? Hier schliesst Cannas da Silva an: ?Die Wahrnehmung von Einfachheit, Klarheit, Eleganz und Symmetrie wird oft mit mathematischer Sch?nheit in Verbindung gebracht.? Auch wenn kein Konsens darüber besteht, was Sch?nheit eigentlich bedeutet, so stimmen Mathematiker:innen innerhalb einer Teilgemeinschaft in der Regel darin überein, welche Theoreme, Beweise, Formeln oder Konstruktionen in ihrem Bereich am sch?nsten sind.
?Ein sch?ner Beweis ist meist pr?gnant und enth?lt überraschende neue Ideen.?Benny Sudakov
Der K?nigsweg der Mathematik zur Wahrheit ist der Beweis. Als sch?n oder besser ?elegant? gelten Beweise, wenn sie ihre Aussagen m?glichst direkt aus bewiesenen, wahren Aussagen herleiten, sparsam mit zus?tzlichen Annahmen umgehen, viele Probleme l?sen und neue Ergebnisse erm?glichen. ?Ein sch?ner Beweis ist meist pr?gnant und enth?lt überraschende neue Ideen. Es gibt zwar beeindruckende Ergebnisse mit langen, technischen Beweisen, aber wenn wir sie besser verstehen, finden wir oft kürzere und elegantere Beweise?, erkl?rt Benny Sudakov, Mathematiker mit Spezialgebiet Kombinatorik.
Strittiger ist, was eine Theorie oder Gleichungen sch?n macht. Aktuell gibt es keine allgemein akzeptierte mathematische Regel, kein Kriterium und keinen Automatismus dafür. Hingegen sprechen Mathematiker:innen oft von Sch?nheit, wenn ein Ergebnis oder ein Beweis eine neue Verbindung zwischen zwei Bereichen oder Aussagen der Mathematik herstellt, die auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun haben. Solche Verbindungen gelten als tiefe Beziehungen. Kowalski sagt: ?Die st?rksten ?sthetischen Empfindungen habe ich, wenn voneinander v?llig unabh?ngige Ans?tze auf tiefgreifende Weise zusammentreffen.? In solchen Momenten erlebe er, wie sehr die einzelnen Teile der Mathematik miteinander verbunden seien.
Sch?ne Gleichungen
Aufgrund ihrer verbindenden Qualit?ten z?hlen viele die Eulersche Identit?t zu den sch?nsten und tiefgründigsten mathematischen S?tzen. Benannt ist sie nach Leonhard Euler (1707 – 1783). Die tiefe Sch?nheit der Gleichung eiπ+1=?0 rührt daher, dass drei arithmetischen Grundrechenarten genau einmal vorkommen (Addition, Multiplikation und Potenzierung), und dass sie einen einfachen Zusammenhang zwischen fünf der bedeutendsten mathematischen Zahlen herstellt: der eulerschen Zahl e, der imagin?ren Zahl i, der Kreiszahl Pi, der Zahl 1 und der Null.
?In der Mathematik kann Sch?nheit ein Anhaltspunkt dafür sein, was wahrscheinlich wahr ist.?Ana Cannas Da Silva
?In der Mathematik kann Sch?nheit ein Anhaltspunkt dafür sein, was wahrscheinlich wahr ist?, sagt Ana Cannas da Silva. Für Emmanuel Kowalski ist Sch?nheit wie ein Leitprinzip, das zur Wahrheit führen kann. ?Ein sch?ner Satz st?rkt das Vertrauen, einen bestimmt L?sungsweg einzuschlagen. Aber man kann sich irren, vor allem, wenn man den Sachverhalt noch zu wenig versteht.? Benny Sudakov gibt zu bedenken: ?Auch Theoreme mit unattraktiven Beweisen werden akzeptiert.?
Die Frage der Sch?nheit eleganter Theorien und Formeln wird auch in mathematisch gepr?gten Zweigen der Naturwissenschaften diskutiert – etwa in der theoretischen Physik. Dort führt der K?nigsweg zur Wahrheit über das Experiment. Die allgemeine Relativit?tstheorie von Albert Einstein (1879 – 1955) gilt als sch?n, weil sich ihre mathematischen Aussagen immer wieder messen und empirisch belegen lassen. Nun gibt es in der Physik jedoch Gr?ssen, die sich mathematisch postulieren lassen, aber noch nicht gemessen worden sind – auch nicht mit Grossforschungsanlagen wie Teilchenbeschleunigern oder Weltraumteleskopen. Die Physikerin Sabine Hossenfelder hat deshalb die ?berzeugung kritisiert, die besten physikalischen Theorien seien sch?n und sch?ne Theorien müssten wahr sein.
Eugene Demler, seit 2021 Professor für Theoretische Physik an der ETH, sieht es so: ?Meine Erfahrung in der Physik ist, dass wenn jemand etwas über die Natur entdeckt, das wahr ist, man es auf elegante und sch?ne Weise beschreiben kann. Unser gr?sstes Bestreben ist es, eine fundamentale Gleichung mit wenigen Buchstaben zu finden. Das ist wirklich sch?n.?
Als Beispiel für eine sch?ne, grundlegende Gleichung nennt er das von Albert Einstein entdeckte Naturgesetz E=mc?. Es besagt, dass wenn sich die Energie ?ndert, sich auch die Masse ?ndert und umgekehrt. Die Gültigkeit der Gleichung hat sich in vielen Experimenten best?tigt. Den Schluss, dass sch?ne mathematische Aussagen wahr seien, zieht er nicht: ?Theoretische Physiker werden oft in Wahrheitssuchende und Sch?nheitssuchende unterteilt. Die Grossen erreichen beides.?
?Globe? Sch?nheit und Wissenschaft
Dieser Text ist in der Ausgabe 22/02 des ETH-????Magazins Globe erschienen.