La ricerca di percorsi infiniti
Come filtra l'acqua attraverso una pietra porosa? L'indagine di questa domanda attraverso un modello matematico è stata il punto di partenza del campo di ricerca di Barbara Dembin. La matematica sta lavorando a nuove scoperte nella cosiddetta teoria della percolazione.
Barbara Dembin è in piedi davanti alla lavagna del suo ufficio nell'edificio principale dell'ETH e disegna con il gesso un cerchio con protuberanze e ammaccature: la sagoma di una pietra. "Come fa l'acqua a penetrare nella pietra dall'esterno?", chiede, tracciando alcune linee sottili che portano al centro del cerchio in modi diversi. Per rispondere a questa domanda, si introduce un parametro", spiega la docente e disegna una "p" sulla lavagna. Il parametro p corrisponde alla densità dei fori nella pietra, cioè al numero medio di fori in un piccolo volume di roccia. Se p raggiunge un certo valore soglia, la roccia è porosa e l'acqua inizia a penetrare.
"Questo è il modello fisico", spiega Dembin: "Il matematico disegna anche questo sulla lavagna: una griglia di linee verticali e orizzontali che si incrociano. Poi cancella alcuni bordi con la spugna, in modo che alcune linee della griglia si interrompano. "Ora guardo i bordi rimanenti e voglio sapere se c'è un percorso continuo che attraversa l'intera griglia", dice la ricercatrice. Nel caso della pietra porosa, l'acqua può passare attraverso di essa. Bisogna immaginare il reticolo e il percorso come infiniti, poiché i fori nella roccia sono microscopicamente piccoli rispetto alle dimensioni della pietra.
Anche il parametro p per la densità di buchi svolge un ruolo decisivo in questo modello matematico. Se il suo valore è 0, non ci sono bordi e quindi non c'è un percorso infinito. Se il suo valore è 1, ci sono tutti i bordi e quindi anche un percorso infinito. "Siamo interessati ai valori di p compresi tra 0 e 1, perché lì accade qualcosa di complicato", spiega Dembin: "Al di sotto di questo valore critico, non si vede un percorso infinito; al di sopra, c'è almeno un percorso infinito. "Questo comportamento è chiamato transizione di fase", spiega il matematico.
Fare il caffè o posizionare antenne
Il campo di ricerca che è emerso da queste considerazioni a partire dagli anni Cinquanta si chiama teoria della percolazione, dal termine latino "percolare" che significa penetrare. In francese, lingua madre di Dembin, "percolateur" è un termine speciale per indicare una macchina da caffè. E in effetti anche la preparazione del caffè è un fenomeno di percolazione. Se la polvere di caffè è troppo compressa, i fori sono troppo piccoli e l'acqua non riesce a passare. "La transizione di fase corrisponde al momento in cui l'acqua inizia a scorrere attraverso i chicchi di caffè", spiega Dembin.
La teoria della percolazione può essere utilizzata per studiare molti fenomeni fisici, come la magnetizzazione spontanea delle leghe o la formazione delle stelle nelle galassie. Può anche essere usata per mostrare come il traffico stradale nelle città collassa quando alcuni colli di bottiglia sono sovraccarichi. Nelle telecomunicazioni, si ammette la possibilità di determinare dove è meglio posizionare le antenne per realizzare una rete nazionale. Può anche essere utilizzato per spiegare come si diffondono gli incendi boschivi o le epidemie. Ad esempio, molti ricercatori hanno utilizzato la teoria della percolazione durante la pandemia di Covid per trarre conclusioni sulla diffusione e raccomandazioni per contenere il virus.
"Comprendere i nostri errori è una parte importante del processo di apprendimento".Barbara Dembin
Tuttavia, il lavoro di Dembin è molto lontano da queste applicazioni pratiche: "Faccio ricerca nel campo della matematica teorica e mi concentro interamente sugli aspetti teorici; trovare applicazioni è un altro lavoro". Una delle questioni principali della teoria della percolazione riguarda il comportamento del modello matematico registrato nel punto critico. Se il modello è bidimensionale, come nello schizzo alla lavagna, si può dimostrare che il parametro critico è ? e che non esiste un percorso infinito in corrispondenza di questo parametro critico.
"In tre dimensioni, non conosciamo il valore esatto del parametro critico e crediamo che non esista un percorso infinito in corrispondenza del parametro critico", afferma l'autrice, aggiungendo che questo è uno dei più importanti problemi in apertura nel campo. "Ma questo non mi interessa. Mi interessa piuttosto la cosiddetta regione subcritica, dove non c'è certamente un percorso infinito", dice Dembin: "Insieme a Vincent Tassion, professore di matematica all'ETH di Zurigo, ha già ottenuto risultati su questo tema per un altro tipo di modello di percolazione.
Stress all'esame
Barbara Dembin è cresciuta vicino a Parigi. Già da bambina eccelleva in matematica a scuola; i genitori e gli insegnanti hanno riconosciuto e incoraggiato il suo talento. "Sono stata fortunata", dice oggi la 29enne: "Se sei bravo e gli altri lo riconoscono, vuoi migliorare ancora di più". Ha superato il difficile ed estremamente selettivo concorso di ammissione all'università d'élite francese "Ecole polytechnique". Ricorda ancora oggi l'esame, per il quale ha dovuto completare due anni di corsi preparatori alla scuola di maturità liceale per avere qualche possibilità: "Avevo paura di dire la cosa sbagliata e di conseguenza si bloccava nel suo percorso di pensiero".
Ancora oggi, a volte si sente un po' a disagio quando parla di matematica con ricercatori più esperti che ancora non conosce. "? un problema che i miei colleghi maschi non sembrano avere", dice: "Credo di pensare che, in quanto donna, devo stare particolarmente attenta a fare una buona impressione". Fino alla scuola di maturità liceale, dice, i migliori in matematica erano per lo più ragazze, ma in seguito il numero di donne nel campo è sceso al 10%. "Si fa davvero parte di una minoranza e si presta maggiore attenzione a ciò che si dice perché si è molto più visibili". Tuttavia, non ha avuto problemi nella ricerca quotidiana. "Non ho mai sentito commenti sessisti o cose del genere", afferma.
Dopo aver completato gli studi e il dottorato in matematica presso il rinomato Laboratoire de probabilités, statistique a modélisation (LPSM) di Parigi, si è candidata per un posto di post-dottorato nell'équipe di Vincent Tassion, "all'ultimo momento, due settimane prima della scadenza della domanda", ricorda: "Ad essere onesti, i miei conoscenti che non erano mai stati in Svizzera e io stessa non avevamo una buona opinione del Paese. Pensavamo che le città fossero fredde e noiose". Ma quando ha preso servizio presso l'ETH nel settembre 2020, si è subito sentita a casa. "Mi piace molto Zurigo e non vorrei tornare a Parigi. ? davvero bello qui", dice. Le piace andare in città, ma ama anche la natura, le passeggiate nella foresta o le escursioni più lunghe. Sta anche imparando il tedesco. "Guardo molti film in tedesco e qualcuno mi ha detto che ho un bell'accento", dice ridendo.
Le piace anche cucinare e vede dei paralleli con la ricerca. "Gli chef che inventano nuovi piatti sono molto creativi. Applicano anche alcune disposizioni generali in modo molto personale, esplorando così nuovi orizzonti", dice. Un approccio simile viene adottato in matematica. Il tempo è un fattore importante. "Se si vuole risolvere un problema difficile, c'è una parte attiva e una passiva", spiega. Nella parte attiva, si pensa intensamente al problema, poi il cervello deve riprendersi in una fase passiva e riorganizzare le cose prima di affrontare di nuovo il problema e, auspicabilmente, vedere la soluzione. "? difficile non rimanere delusi quando si trova un errore, ma capire i nostri errori è una parte importante del processo di apprendimento", afferma Dembin.
Premio per il lavoro innovativo
I successi ci fanno anche dimenticare i momenti più bassi. Per i suoi eccezionali contributi alla teoria della percolazione, Barbara Dembin ha ricevuto il premio SwissMAP Innovator Prize nel 2022, un riconoscimento del Centro nazionale di competenza per la ricerca (NCCR), che si concentra sulla matematica della fisica. Nella sua ricerca premiata, si è concentrata sulla percolazione di primo passaggio e sui modelli di percolazione correlati. Per spiegare in cosa consiste il modello di "percolazione di primo passaggio", Dembin prende un altro pezzo di gesso e disegna un'altra griglia sulla lavagna. "Questa volta i bordi corrispondono alle strade e le intersezioni rappresentano gli incroci", spiega. Si guida più velocemente su alcune strade e più lentamente su altre, quindi ai bordi vengono assegnati valori numerici che dipendono dal tempo necessario per andare da un incrocio all'altro.
"Ora abbiamo due persone che vogliono attraversare la rete stradale", spiega Dembin e disegna una "A" e una "B" a una certa distanza a sinistra della griglia sulla lavagna. A destra della griglia, disegna due piccoli cerchi - le destinazioni di A e B. Il punto importante è che la distanza tra i punti di partenza e di arrivo è molto maggiore della distanza tra A e B e anche della distanza tra le due destinazioni. "Entrambe le persone ora usano il loro GPS per scoprire qual è il percorso più breve per raggiungere la loro destinazione", spiega il matematico. Il risultato: entrambi scelgono inizialmente strade diverse e piccole che alla fine portano a un'autostrada. Lì, A e B percorrono la stessa strada fino a quando i loro percorsi divergono nuovamente prima di raggiungere la loro destinazione. "Questo è esattamente ciò che sono riuscito a dimostrare insieme ai miei colleghi Dor Elboim e Ron Peled in base a determinate ipotesi", dice Dembin: "Ma naturalmente non stiamo parlando di piccole strade e autostrade nel nostro modello matematico", ma ammette: "Quando si dimostra qualcosa, spesso alla fine sembra facile, come se non si fosse fatto nulla. Ma è stata una strada dura per arrivarci".
Letteratura di riferimento
Dembin B, Elboim R, Peled R. Coalescenza delle geodetiche e problema del punto medio di BKS nella percolazione planare FIRST. pagina esternahttps://arxiv.org/abs/2204.02332
Dembin B, Tassion V. Quasi nitidezza per la percolazione booleana di Poisson. pagina esternahttps://arxiv.org/abs/2209.00999