Was Beweise über die Möglichkeiten der Mathematik aussagen

Eine der grossen Entdeckungen der Mathematik des 20. Jahrhunderts war, dass jeder Streit ¨¹ber die G¨¹ltigkeit eines mathematischen Beweises immer entschieden werden kann. Das schreibt der englische Mathematiker und Ritter Sir Timothy Gowers in seinem allgemein verst?ndlichen Buch ?Mathematik?.

Der Grund daf¨¹r sei, dass man jedes mathematische Argument immer in noch kleinere Teilschritte aufspalten k?nne, woraus sich jedesmal noch eindeutiger g¨¹ltige Aussagen erg?ben. Auf diese Weise m¨¹sse im Prinzip jede Auseinandersetzung ¨¹ber ein Beweisverfahren schliesslich an ein Ende gelangen.

Nun gibt es jedoch sehr lange und komplizierte Beweise oder g?nzlich ungel?ste Probleme, f¨¹r die auch die meisten Mathematikerinnen und Mathematiker nicht mit letzter Gewissheit angeben k?nnen, ob die lange Kette von Teilschritten nicht irgendwo einen Fehler enth?lt oder ob sie ¨¹berhaupt einmal zu einem Ende kommt.

Warum also ist mathematische Forschung trotzdem nicht unm?glich? Am Mittwoch kommt Timothy Gowers an die ETH Z¨¹rich, um diese Frage im Rahmen der diesj?hrigen Wolfgang-Pauli-Vorlesungen zu beantworten (vgl. Box).

Keine Angst vor grossen Fragen

Gowers ist Mathematik-Professor in Cambridge und hat verschiedene Gebiete der Mathematik ¨C besonders die Theorie der so genannten Banach-R?ume und die Kombinatorik ¨C gepr?gt. 1998 erhielt er in Berlin eine Fields-Medaille f¨¹r seine bemerkenswerten L?sungen von mathematischen Problemen, die der polnische Mathematiker Stefan Banach (1892-1945) zum Teil schon in den 1930er-Jahren gestellt hatte.

Gowers ist bekannt f¨¹r seine F?higkeit, ein fachfremdes Publikum mit mathematischen Ideen anzufreunden. 2012 wurde er f¨¹r seine Verdienste um die Mathematik zum Ritter geschlagen.

Timothy Gowers scheut die grossen, ungel?sten Probleme nicht. Im Gegenteil: Ihm zufolge zeichnet sich mathematische Forschung zu einem grossen Teil dadurch aus, dass sie sich ungel?sten und besonders schwierigen Problemen widmet. Dabei befasst er sich auch mit der nicht unumstrittenen Frage: K?nnen Computer die schwierigsten mathematischen Probleme besser l?sen ¨C oder sind komplizierte Beweisf¨¹hrungen ausschliesslich dem Menschen vorbehalten?

Die Rechenmaschine und wir

In seiner Vorlesung an der ETH behandelt er das Problem, dass es f¨¹r Computer ziemlich schwierig ist festzustellen, ob sich eine bestimmte mathematische Aussage wirklich beweisen l?sst. Schliesslich gibt es keinen allgemeinen Algorithmus, also keine Regel, die dieses Problem in endlich vielen, wohldefinierten Einzelschritten l?sen und abschliessend beantworten kann.

Selbst wenn man das Problem gezielt auf Beweise einschr?nkt, die nur eine bestimmte Maximall?nge haben, ist es immer noch ungewiss, ob ein Algorithmus in angemessener Zeit einen Beweis finden kann. Im Vergleich dazu, so Gowers, gelingt es den Menschen doch immer irgendwie, auch lange und komplexe Beweise zu f¨¹hren.

Ist also der menschliche Geist doch dem Rechner ¨¹berlegen? In seiner Wolfgang-Pauli-Vorlesung wird Gowers argumentieren, dass man dieses scheinbare Paradox l?sen kann, ohne dass man an eine mysteri?se Eigenschaft des menschlichen Gehirns appellieren m¨¹sse, die kein Computer jemals werde nachahmen k?nnen.

In dem besagten Mathematik-Buch vertritt Gowers die Ansicht, dass die Computer in den n?chsten gut hundert Jahren mehr und mehr leisten werden, was heute noch nur Mathematiker k?nnen, und dass die Maschinen schliesslich uns Menschen ersetzen werden.

An den Grenzen von Berechnung und Beweis

Im Detail geht es um die M?glichkeiten und Grenzen der algorithmischen Methode und um spezifische Fragen der so genannten Berechenbarkeitstheorie und der Beweistheorie ¨C zwei Forschungsgebiete, die sowohl die Mathematik als auch Logik und Informatik betreffen.

?Ich pers?nlich bin neugierig, mit welchen neuen Ideen zu diesen beiden Theorien Gowers das Publikum ¨¹berraschen will?, sagt Rahul Pandharipande, ETH-Professor f¨¹r Mathematik und Gastgeber der diesj?hrigen Wolfgang-Pauli-Vorlesungen.

Wom?glich liegt die Antwort nicht in einer Gegen¨¹berstellung von Menschen und Computern, sondern in einer Arbeitsteilung? Auf seinem Mathematik-Blog ?externe Seite Gowers's Weblog. Mathematics related discussions? hat Gowers 2009 jedenfalls dazu aufgerufen, dass sich sehr viele Mathematiker online zusammenschliessen und informell miteinander kooperieren sollten, um auf diese Weise den jeweils besten Weg zur L?sung von besonders schwierigen mathematischen Probleme zu finden. Tats?chlich hat das Polymath-Projekt neue Ergebnisse geliefert.

In seinem popul?rwissenschaftlichen Buch beantwortet Gowers die Frage: ?Wie ist Forschung in der Mathematik m?glich?? damit, dass die mathematischen Probleme gerade so schwierig sein sollten, dass sie noch ein F¨¹nkchen Hoffnung gew?hrten, wirklich l?sbar zu sein.